Question

已知正项数列{a_n}的前n项和，．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）定理：若函数f（x）在区间D上是凹函数，且f'（x）存在，则当x₁＞x₂（x₁，x₂∈D）时，总有，请根据上述定理，且已知函数y=xⁿ⁺¹（n∈N*）是（0，+∞）上的凹函数，判断b_n与b_n+1的大小；
（Ⅲ）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用a_n与_^Sn关系式变形得到a_n-a_n-1=1．所以数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．即可求出a_n=n
（Ⅱ）先求出b_n，可令，再根据凹函数的定义得x₁ⁿ＜x₂^n+1，_即b_n＜b_n+1．
（Ⅲ）利用放缩法可证明，即先证明，，再利用（2）中的结论b_n＜b_n+1．可证得．
解答：解：（Ⅰ）n=1时，或a₁=1．
由于{a_n}是正项数列，所以a₁=1．
当n≥2时，，
整理，得a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）．
由于{a_n}是正项数列，∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．
从而a_n=n，当n=1时也满足．
∴a_n=n（n∈N^*）．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
对于（0，+∞）上的凹函数y=xⁿ⁺¹，有y'=（n+1）xⁿ．
根据定理，得．（6分）
整理，得x₁ⁿ[（n+1）x₂-nx₁]＜x₂ⁿ⁺¹．
令，得（n+1）x₂-nx₁=1．（8分）
∴x₁ⁿ＜x₂ⁿ⁺¹，即．
∴b_n＜b_n+1．（10分）
（Ⅲ）∵，
∴．
又由（Ⅱ），得．
（或．）
∴．（14分）
点评：此题考查等差数列的定义，及用放缩法证明不等式．