Question

已知圆C以（3，-1）为圆心，5为半径，过点S（0，4）作直线l与圆C交于不同两点A，B．
（Ⅰ）若AB=8，求直线l的方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率为-2时，过直线l上一点P，作圆C的切线PT（T为切点）使PS=PT，求点P的坐标；
（Ⅲ）设AB的中点为N，试在平面上找一点M，使MN的长为定值．

Answer 1

（Ⅰ）圆心C坐标（3，-1），半径r=5，
由条件可知：圆心C到直线l的距离为3．（3分）
当斜率不存在时，x=0符合条件； （4分）
当直线l斜率存在时，设其为k，
则

|3k+5|

k2+1

=3?k=-

8

15

，
则直线l的方程为8x+15y-60=0．
综上，直线l方程是8x+15y-60=0或x=0；（6分）
（Ⅱ）知直线l方程为y=-2x+4，设点P（a，4-2a），
则由PC²-r²=PS²得：a²+4a²=（a-3）²+（5-2a）²-25，
?a=

9

26

，
所求点P为(

9

26

，

43

13

)；（10分）
（Ⅲ）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半有：
定点M的坐标为 (

3

2

，

3

2

)．（16分）