Question

若实数m、n满mn＞0，且不等式m²+mn≤a（m²+n²）恒成立，则实数a的最小值为（　　）

• A、

  2 +1

  2

• B、

  2 -1

  2

• C、1
• D、

  2

  +1

Answer 1

分析：不等式m²+mn≤a（m²+n²）恒成立，等价于a≥

m2+mn

m2+n2

对实数m、n，mn＞0恒成立，所以a≥(

m2+mn

m2+n2

)max．换元，利用基本不等式，即可得出结论．

解答：解：不等式m²+mn≤a（m²+n²）恒成立，等价于a≥

m2+mn

m2+n2

对实数m、n，mn＞0恒成立，
∴a≥(

m2+mn

m2+n2

)max．
∴

m2+mn

m2+n2

=

1+ n m

1+( n m )2

，
令t=1+

n

m

，则

m2+mn

m2+n2

=

t

t2-2t+2

=

1

t+ 2 t -2

，
当t=

2

时，(

1

t+ 2 t -2

)max=

2 +1

2

．
∴a≥

2 +1

2

．
故选：A．

点评：本题考查函数最值的应用，考查恒成立问题，分离参数，转化为求函数的最值是关键．