Question

命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（其中a＞0），命题q：实数x满足|x-4|＜3，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是绝对值不等式及对数不等式的解法．

解答：解：∵命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（其中a＞0），
∴当p为真，x的取值范围是：a＜x＜3a
不妨设A={x!a＜x＜3a}
∵命题q：实数x满足|x-4|＜3，
∴当q为真，x的取值范围是：1＜x＜7
不妨设B={x!1＜x＜7}
∵若p是q的充分不必要条件
∴A是B的真子集
∴

a≥1 3a≤7

实数a的取值范围：[1，

7

3

）

点评：判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．