Question

已知函数f(x)=

x2

2

-mx，其中m为实常数．
（1）当m=

1

2

时，求不等式f（x）＜x的解集；
（2）当m变化时，讨论关于x的不等式f(x)+

x

2

≥0的解集．

Answer 1

分析：（1）将m的值代入函数f（x）中，列出不等式是一个二次不等式，求出相应的二次方程的根，据二次方程根的形式写出其解集．
（2）通过因式分解得到二次不等式相应的两个根0，2m-1，通过讨论m的范围得到两个根的大小，据二次不等式的解集形式写出解集．

解答：解（1）当m=

1

2

时，由f（x）＜x，
得

x2

2

-

x

2

＜x，
即x（x-3）＜0．
∴不等式的解集是{x|0＜x＜3}，
（2）由f(x)+

x

2

≥0，
得

x2

2

-mx+

x

2

≥0，
即x[x-（2m-1）]≥0．
当2m-1＞0，即m＞

1

2

时，不等式的解集为{x|x≤0或x≥2m-1}；     
当2m-1＜0，即m＜

1

2

时，不等式的解集为{x|x≥0或x≤2m-1}；     
当2m-1=0，即m=

1

2

时，不等式的解集为R．

点评：求二次不等式的解问题，若含参数一般需要讨论，一般从二次项系数的符号、判别式的符号、两个根的大小三个方面进行讨论，属于难题．