Question

已知函数y=Asin(ωx+?)(A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)图象上的一个最高点为P(2，

2

)，由这个最高点到相邻最低点间的曲线与x轴相交于点Q（6，0）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）求这个函数的单调区间．

Answer 1

分析：（1）首先由曲线y=Asin（ωx+φ）的最高点求A，再由最高点与相邻的平衡点求最小正周期T，进一步求得ω，最后通过特殊点求φ，则问题解决．
（2）通过（1）的函数解析式，借助正弦函数的单调区间，求出函数的单调区间即可．

解答：解：（1）由曲线y=Asin（ωx+φ）的一个最高点是（2，

2

），得A=

2

，
又最高点（2，

2

）到相邻的最低点间，曲线与x轴交于点（6，0），
则

T

4

=6-2=4，即T=16，所以ω=

2π

T

=

π

8

．
此时y=

2

sin（

π

8

x+φ），
将x=2，y=

2

代入得

2

=

2

sin（

π

8

×2+φ），|?|＜

π

2

，

π

4

+φ=

π

2

，
∴φ=

π

4

，
所以这条曲线的解析式为y=

2

sin(

π

8

x+

π

4

)．
（2）因为

π

8

x+

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，解得x∈[16k-6，2+16k]，k∈Z．
所以函数的单调增区间为[-6+16k，2+16k]，k∈Z，
因为

π

8

x+

π

4

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，解得x∈[2+16k，10+16k]，k∈Z，
所以函数的单调减区间为：[2+16k，10+16k]，k∈Z，

点评：本题主要考查由曲线y=Asin（ωx+φ）的部分信息求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的方法．函数单调区间的求法，考查计算能力．