题目内容
（2013•梅州二模）已知函数f(x)=2cos2x+2
sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．
| 3 |
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．
分析：（1）利用二倍角的正弦函数与余弦函数以及两角和的正弦函数．化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求解函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，利用f（C）=2，求出C的值，通过sinB=cos（A-C）-cos（A+C）利用两角和与差的三角函数化简，推出tanA与C的正弦函数与余弦函数的关系式，求出结果即可．
（2）在△ABC中，利用f（C）=2，求出C的值，通过sinB=cos（A-C）-cos（A+C）利用两角和与差的三角函数化简，推出tanA与C的正弦函数与余弦函数的关系式，求出结果即可．
解答：解：（1）函数f(x)=2cos2x+2
sinxcosx=1+cos2x+
sin2x=2sin（2x+
）+1，
∴函数的最小正周期为：
=π．
（2）∵f（C）=2，∴2sin（2C+
）+1=2，
∴sin（2C+
）=
∵0＜C＜π，
∴
＜2C+
＜2π+
，
2C+
=
，C=
；
∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC，
∴sin（A+C）=sinAsinC，
即：sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC，
即：tanA=
=
=
=
．
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数的最小正周期为：
| 2π |
| 2 |
（2）∵f（C）=2，∴2sin（2C+
| π |
| 6 |
∴sin（2C+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∵0＜C＜π，
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
2C+
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC，
∴sin（A+C）=sinAsinC，
即：sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC，
即：tanA=
| sinC |
| sinC-cosC |
=
sin
| ||||
sin
|
=
| ||||||
|
=
3+
| ||
| 2 |
点评：本题考查二倍角公式以及两角和与差的三角函数的应用，求解函数f（x）的最小正周期以及三角函数值求解角的大小的方法；考查转化思想以及计算能力．
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