Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E、F分别为棱AD、PC的中点．
（1）求异面直线EF和PB所成角的大小；
（2）求证：平面PCE⊥平面PBC；
（3）求直线BD与平面PBC所成角．

Answer 1

分析：通过建立空间直角坐标系，（1）利用异面直线的方向向量的夹角即可求出异面直线所成的角；
（2）由（1）可知EF⊥BP，只要再证明EF⊥BC即可证明EF⊥平面PBC，进而得到面面垂直；
（3）若

n

为平面PBC的法向量，θ为斜线BD与平面所成的角，利用sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|求出即可．

解答：解：（1）分别以直线AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
（1）∵E为线段AD的中点，∴E（0，1，0）；F为PC的中点，∴F（1，1，1）．
∴

EF

=（1，0，1），又

PB

=（2，0，-2），∴cos＜

EF

，

PB

＞=

1×2+1×(-2)

1+1  • 22+(-2)2

=0，
∴＜

EF

，

PB

＞=90°．
∴异面直线EF和PB所成角为90°；
（2）证明：∵

BC

=（0，2，0），∴

EF

•

BC

=0+0+0=0，∴EF⊥BC；
由（1）可知：EF⊥BP，而BC∩BP=B，∴EF⊥平面PBC，
又EF?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PBC．
（3）由（2）可知：EF⊥平面PBC，∴可取

EF

作为平面PBC的法向量，
设BD与平面PBC所成的角为θ，又

BD

=(-2，2，0)，
∴sinθ=|cos＜

BD

，

EF

＞|=

| BD • EF |

| BD | | EF |

=

2

8 × 2

=

1

2

．
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ=

π

6

．
故直线BD与平面PBC所成角为

π

6

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量所成的角求异面直线所成的角、

a

•

b

=0?

a

⊥

b

证明垂直及利用平面的法向量证明线面、面面垂直、求线面角是解题的关键．