Question

如果函数y=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是（　　）

• A、(0，

  2

  3

  ]
• B、[

  3

  3

  ，1)
• C、(0，

  3

  ]
• D、[

  3

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：将函数y=a^x（a^x-3a²-1）转化为二次函数来考虑即可得到答案．

解答：解：函数y=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）可以看作是关于a^x的二次函数，
若a＞1，则y=a^x是增函数，原函数在区间[0，+∞）上是增函数，
则要求对称轴

3a2+1

2

≤1，矛盾；
若0＜a＜1，则y=a^x是减函数，原函数在区间[0，+∞）上是增函数，
则要求当t=a^x（0＜t＜1）时，
y=t²-（3a²+1）t在t∈（0，1）上为减函数，
即对称轴

3a2+1

2

≥1，
∴a2≥

1

3

，
∴实数a的取值范围是[

3

3

，1)，
故选B．

点评：本题主要考查将复杂函数式转化为二次函数的问题．注意转化后函数定义域的转变．