Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}满足a₂=3，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设，若数列{c_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意，可求得数列{a_n}的首项与公差，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）a_n=n+1，可求得b_n=2+-，累加即可求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）依题意，应有c_n+1-c_n=2ⁿ（--λ）＜0对n∈N^*都成立?--λ＜0恒成立?λ＞，设f（n）=-，可求得f（n+1）-f（n）=，⇒f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…，从而可求f（n）_max，问题得到解决．
解答：解：（Ⅰ）由题知=a₁a₇，设等差数列{a_n}的公差为d，
则=a₁（a₁+6d），
a₁d=2d²，∵d≠0
∴a₁=2d．                                                  …（1分）
又∵a₂=3，
∴a₁+d=3a₁=2，d=1…（2分）
∴a_n=n+1．                                                 …（3分）
（Ⅱ）∵b_n=+=+=2+-．            …（4分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（2+-）+（2+-）+…+（2+-）=2n+．                          …（6分）
（ III）c_n=2ⁿ（-λ）=2ⁿ（-λ），使数列{c_n}是单调递减数列，
则c_n+1-c_n=2ⁿ（--λ）＜0对n∈N^*都成立    …（7分）
即--λ＜0⇒λ＞…（8分）
设f（n）=-，
f（n+1）-f（n）=--+
=+-
=2++1+-3-
=…（9分）
∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…
当n=2或n=3时，f（n）_max=，
∴=
所以λ＞．               …（10分）
点评：本题考查数列的递推，考查数列的求和，突出考查累加法求和，考查构造函数思想与等价转化思想的综合应用，考查函数的单调性与推理分析的能力，属于难题．