Question

已知等差数列{a_n}的公差d＞0．S_n是它的前n项和，又

1

4

S4与

1

6

S6的等比中项是

a17+1

，

1

4

S4与

1

6

S6的等差中项是6，求a_n．

Answer 1

分析：先利用等差数列的前n项和公式表示出S4和S6，进而表示出

1

4

S4与

1

6

S6，根据等比数列的性质及等差数列的性质，由

1

4

S4与

1

6

S6的等比中项是

a17+1

，

1

4

S4与

1

6

S6的等差中项是6列出关于a₁与d的方程组，求出方程组的解得到a₁与d的值，进而确定出等差数列的通项公式．

解答：解：∵

1

4

S4=

1

4

（4a₁+6d）=

1

2

（2a₁+3d），

1

6

S6=

1

6

（6a₁+15d）=

1

2

（2a₁+5d），
又

1

4

S4与

1

6

S6的等比中项是

a17+1

，

a17+1

，

1

4

S4与

1

6

S6的等差中项是6，
∴

1

4

S4•

1

6

S6=（

a17+1

）²，

1

4

S4+

1

6

S6=12，
即

1 2 (2a1+3d)• 1 2 (2a1+5d)=a1+16d+1① 1 2 (2a1+3d)+ 1 2 (2a1+5d)=12②

，
由②整理得：a₁+2d=6③，
将③代入①得：（12-d）（12+d）=24-8d+64d+4，
∴144-d²=56d+28，即d²+56d-116=0，
解得：d=2，d=-58＜0（应舍去），
把d=2代入a₁+2d=6，得a₁=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．

点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列的通项公式，等差数列的性质，以及等比数列的性质，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．