题目内容
已知 f(x)=
（e是自然对数的底数），
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设an=f（n），求数列{an}的前n项和Sn，并证明
≤
．
| x |
| ex |
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设an=f（n），求数列{an}的前n项和Sn，并证明
| e(en-1)-n(e-1) |
| (e-1)2en |
| n |
| e |
分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求出数列的通项．利用等比数列的求和公式求和，即可得到结论．
（Ⅱ）求出数列的通项．利用等比数列的求和公式求和，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=
，∴f′(x)=
=
，
当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）是单调递增，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）是单调递减．
所以f（x）的递增区间是（-∞，1]，递减区间是[1，+∞）． …5分
（Ⅱ）∵an=f（n），Sn=a1+a2+…+an，∴an=
且Sn=
+
+
…+
，
∴
Sn=
+
+
+…+
+
∴(1-
)Sn=
+
+
+…+
-
=
-
∴Sn=
．
由（Ⅰ）知f(x)max=f(1)=
，∴f(x)≤
，∴an=f(n)≤
，∴Sn≤
，
∴
≤
．…13分．
| x |
| ex |
| ex-xex |
| (ex)2 |
| 1-x |
| ex |
当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）是单调递增，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）是单调递减．
所以f（x）的递增区间是（-∞，1]，递减区间是[1，+∞）． …5分
（Ⅱ）∵an=f（n），Sn=a1+a2+…+an，∴an=
| n |
| en |
| 1 |
| e |
| 2 |
| e2 |
| 3 |
| e3 |
| n |
| en |
∴
| 1 |
| e |
| 1 |
| e2 |
| 2 |
| e3 |
| 3 |
| e4 |
| n-1 |
| en |
| n |
| en+1 |
∴(1-
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
| 1 |
| e2 |
| 1 |
| e3 |
| 1 |
| en |
| n |
| en+1 |
| ||||
1-
|
| n |
| an+1 |
∴Sn=
| e(en-1)-n(e-1) |
| en(e-1)2 |
由（Ⅰ）知f(x)max=f(1)=
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
| n |
| e |
∴
| e(en-1)-n(e-1) |
| en(e-1)2 |
| n |
| e |
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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