题目内容
已知函数f（x）=sin2x-cos2x，（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并求此时自变量x的集合．
解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x-cos2x=
sin（2x-
）（x∈R）（x∈R）．
∴f（x）的最小正周期为：T=
=π．．
（Ⅱ）∵f（x）=sin2x-cos2x=sin（2x-）（x∈R）（x∈R）．
∴f（x）的最大值为，…（7分）
此时2x-=2kπ+
，即x=kπ+
，（k∈Z）．
∴f（x）的最大值为时，自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．
分析：（Ⅰ）将函数f（x）=sin2x-cos2x，化为：f（x）=sin（2x-）（x∈R）即可求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x-），从而可求得其最大值及此时自变量x的集合．
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，难点在于利用辅助角公式将函数f（x）=sin2x-cos2x化为：f（x）=sin（2x-）（x∈R），再按题意解决问题，属于基础题．
sin（2x-）（x∈R）（x∈R）． ∴f（x）的最小正周期为：T=
=π．． （Ⅱ）∵f（x）=sin2x-cos2x=
sin（2x-）（x∈R）（x∈R）． ∴f（x）的最大值为
，…（7分）此时2x-
=2kπ+，即x=kπ+，（k∈Z）．∴f（x）的最大值为
时，自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．分析：（Ⅰ）将函数f（x）=sin2x-cos2x，化为：f（x）=
sin（2x-）（x∈R）即可求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=
sin（2x-），从而可求得其最大值及此时自变量x的集合．点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，难点在于利用辅助角公式将函数f（x）=sin2x-cos2x化为：f（x）=
sin（2x-）（x∈R），再按题意解决问题，属于基础题． 
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