Question

3．已知在△ABC中，D为边AC上一点，AB=AD=4，AC=6，若△ABC的外心恰在线段BD上，则BC=2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由外心即为三角形三边垂直平分线的交点，根据题意作线段AC的垂直平分线，交BD于点O，即为三角形ABC外心，取AB中点E，连接OE，则有OE垂直于AB，再由AB=AD，利用等边对等角得到一对角相等，进而得到三角形BEO与三角形DFO相似，由相似得比例得到BO=2DO，设DO=a，则有OB=2a，进而表示出OF，AO，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出a²的值，利用余弦定理表示出cosA，将各自的值代入求出cosA的值，在三角形ABC中，由AB，AC，cosA的值，利用余弦定理求出BC的长即可．

解答 解：∵外心为三角形三边垂直平分线的交点，△ABC的外心恰在线段BD上，
∴作线段AC的垂直平分线，交BD于点O，即为△ABC外心，
∴OA=OB=OC，
取AB的中点E，连接OE，则有OE⊥AB，可得∠BEO=∠OFD=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△BEO∽△DFO，
∵AC=6，
∴AF=3，
∴DF=AD-AF=1，
∵BE=2，
∴$\frac{BO}{DO}$=$\frac{BE}{DF}$=2，
设OD=a，则有OB=OA=2a，OF²=OD²-FD²=a²-1，
由AO²=AF²+OF²，得到4a²=9+a²-1，即a²=$\frac{8}{3}$，
由余弦定理得：cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{D}^{2}-B{D}^{2}}{2AB•AD}$=$\frac{16+16-9{a}^{2}}{2×16}$=$\frac{32-9×\frac{8}{3}}{2×16}$=$\frac{1}{4}$，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA=16+36-2×4×6×$\frac{1}{4}$=40，
则BC=2$\sqrt{10}$．
故答案为：2$\sqrt{10}$

点评 此题考查了余弦定理，三角形的外心，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．