Question

已知函数f（x）=（a≠1）．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）将a=2代入，根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式，解不等式可得f（x）的定义域；
（Ⅱ）根据y=f（x）与y=单调性相同，y=f（x）与y=kf（x）（k＞0）单调性相同，y=f（x）与y=kf（x）（k＜0）单调性相反，分a＞1时，0＜a＜1时，a＜0时，三种情况，讨论函数的单调性，最后综合讨论结果，可得答案．
解答：解：（I）当a=2时，
若使函数f（x）=的解析式有意义．
自变量x须满足：
3-2x≥0
解得：x≤
故a=2时，f（x）的定义域为…（3分）
（II）当a＞1时，若f（x）在区间（0，1]上是减函数，
则3-ax≥0恒成立
即3-a≥0
∴1＜a≤3；…（6分）
当0＜a＜1时，a-1＜0
函数y=为减函数，
f（x）=为增函数，不合题意；…（8分）
当a＜0时，a-1＜0
函数y=为增函数，
f（x）在区间（0，1]上是减函数…（11分）
综上可得a的取值范围是（-∞，0）∪（1，3]…（12分）
点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数的定义域及求法，熟练掌握函数单调性的性质是解答的关键．