Question

设平面上P、Q两点的坐标分别是P=（cos

x

2

，sin

x

2

）、Q(-cos

3x

2

，sin

3x

2

)，其中x∈[0，

π

2

]．
（Ⅰ）求|PQ|的表达式；
（Ⅱ）记f（x）=|PQ|²-|PQ|，求函数f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（I）由两点间的距离公式，结合三角恒等变换公式化简得|PQ|=2|cosx|，再由x∈[0，

π

2

]可得|PQ|=2cosx；
（II）由（I）的|PQ|表达式，得f（x）=4cos²x-2cosx=4（cosx-

1

4

）²-

1

4

，再由cosx∈[0，1]结合二次函数性质即可算出f（x）的最小值和最大值．

解答：解：（I）P=（cos

x

2

，sin

x

2

）、Q(-cos

3x

2

，sin

3x

2

)，
∴|PQ|=

(cos x 2 +cos 3x 2 )2+(sin x 2 -sin 3x 2 )2

=

(cos2 x 2 +sin2 x 2 )+(cos2 3x 2 +sin2 3x 2 )+2(cos x 2 cos 3x 2 -sin x 2 sin 3x 2 )

=

2+2cos2x

=

4cos2x

=2|cosx|
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx＞0，可得|PQ|=2cosx…（6分）
（II）f（x）=|PQ|²-|PQ|=4cos²x-2cosx=4（cosx-

1

4

）²-

1

4

…（8分）
∵x∈[0，

π

2

]，得cosx∈[0，1]
∴由二次函数性质知：当cosx=

1

4

时，f（x）有最小值-

1

4

当cosx=1时，f（x）有最大值2…（12分）

点评：本题给出点含有三角函数坐标的形式，求|PQ|的表达式，并依此求f（x）=|PQ|²-|PQ|的最值．着重考查了三角恒等变换公式、两点间的距离公式和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．