Question

（1）判断函数在x∈（0，+∞）上的单调性并证明你的结论；
（2）猜想函数在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的单调性。（只需写出结论，不用证明）
（3）利用题（2）的结论，求使不等式在x∈[1，5]上恒成立时的实数m的取值范围。

Answer 1

解：（1）在(0，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数。
证明：设任意，
则，
又设，则，∴；
∴在(0，2]上是减函数；
又设，则，∴，
∴在[2，+∞)上是增函数。
（2）由（1）及f(x)是奇函数，可猜想：f(x)在和上是增函数， f(x)在和上是减函数。
（3）∵在x∈[1，5]上恒成立，
∴x∈[1，5]上恒成立，
由（2）中结论，可知函数在x∈[1，5]上的最大值为10，此时x=1，
要使原命题成立，当且仅当，
∴，解得：m＜-2或，
∴实数m的取值范围是{m|m＜-2或}。