Question

已知函数f（x）=log_a（3+2x），g（x）=log_a（3-2x），（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）-g（x）定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

（1）若使f（x）-g（x）的解析式有意义
须使f（x）=loga（3+2x），g（x）=loga（3-2x）的解析式都有意义
即

3+2x＞0 3-2x＞

   
 解得：-

3

2

＜x＜

3

2

所以函数f（x）-g（x）的定义域是（-

3

2

，

3

2

）
（2）函数f（x）-g（x）是奇函数，理由如下：
由（1）知函数f（x）-g（x）的定义域关于原点对称
又∵f（-x）-g（-x）=loga（3-2x）-loga（3+2x）
=-[loga（3+2x）-loga（3-2x）]=-[f（x）-g（x）]
∴函数f（x）-g（x）是奇函数
若f（x）-g（x）＞0，即loga（3+2x）＞loga（3-2x）
当a＞1，则3+2x＞3-2x，解得x＞0，由（1）可得此时x的取值范围（0，

3

2

）
当0＜a＜1，则3+2x＜3-2x，解得x＜0，由（1）可得此时x的取值范围（-

3

2

，0）