Question

设集合A={（x，y）|ay²-x-1=0}，B={（x，y）|4x²+2x-2y+5=0}，C={（x，y）|y=kx+b}．
（1）若a=0，求A∩B．
（2）若a=1，是否存在非零自然数k和b，使得（A∩C）∪（B∩C）=∅？若存在，请求出k和b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当a=0时，化简集合A：x=-1，由方程组

x=-1 4x2+2x-2y+5=0

，解得y，再利用交集运算即可得出．
（2）a=1时，A={（x，y）|y²-x-1=0}．若存在非零自然数k，b，使得（A∩C）∪（B∩C）=∅，可得A∩C=∅，B∩C=∅．此即方程组

y2=x+1 y=kx+b

和方程组

4x2+2x-2y+5=0 y=kx+b

均无解，即k²x²+2bkx+b²=x+1无解且4x²+2x-2（kx+b）+5=0也无解，即

k≠0 △1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)＜0 △2=4(1-k)2-16(5-2b)＜0

，解得即可．

解答：解：（1）a=0时，
则A={（x，y）|x=-1}，由方程组

x=-1 4x2+2x-2y+5=0

，解得

x=-1 y= 7 2

，∴B={(-1，

7

2

)}．
∴A∩B=B={(-1，

7

2

)}．
（2）a=1时，A={（x，y）|y²-x-1=0}．
若存在非零自然数k，b，使得（A∩C）∪（B∩C）=∅，则A∩C=∅，B∩C=∅．
此即方程组

y2=x+1 y=kx+b

和方程组

4x2+2x-2y+5=0 y=kx+b

均无解，
∴k²x²+2bkx+b²=x+1无解且4x²+2x-2（kx+b）+5=0也无解，即

k≠0 △1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)＜0 △2=4(1-k)2-16(5-2b)＜0

．
此即4k²-4bk+1＜0，且k²-2k+8b-19＜0，
∴方程4k²-4bk+1=0的判别式，
△₃=16b²-16＞0，又∵k²-2k+8b-19＜0，
∴（k-1）²＜20-8b，
∴b²＞1且b＜

5

2

成立，
又b∈N，∴b=2，此时4k²-8k+1＜0，且k²-2k-3＜0，
由此得

2- 3

2

＜k＜

2+ 3

2

，得k=1，
即所求b=2，k=1．所以存在非零自然数b=2，k=1，
使得（A∩C）∪（B∩C）=∅．

点评：本题考查了集合的运算与方程组的解的关系、一元二次方程的解与判别式的关系，属于难题．