Question

19.已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁，在某个空间直角坐标系中，

＝{，0}，＝{m，0，0}，＝{0，0，n}，其中m、n＞0.

(1)证明：三棱柱ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱；

(2)若m＝n，求直线CA₁与平面A₁ABB₁所成角的大小.

Answer 1

19. 解：(1)∵＝＝{，0}，

∴| |＝m，

又＝{，0}，＝{m，0，0}，

∴||＝m，||＝m，△ABC为正三角形.                      

又·＝0，即AA₁⊥AB，同理AA₁⊥AC，

∴AA₁⊥平面ABC，

从而三棱柱ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱.                                        

　　(2)

取AB中点O，连结CO、A₁O.

∵CO⊥AB，平面ABC⊥平面ABB₁A₁，

∴CO⊥平面ABB₁A₁，

即∠CA₁O为直线CA₁与平面A₁ABB₁所成角.                           

 

在Rt△CA₁O中，CO＝m，CA₁＝，

 

∴sinCA₁O＝，即∠CA₁O＝45°.