Question

已知函数f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinx•cosx+1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的对称中心，最大值及取得最大值的条件；
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，从而可求函数f（x）的对称中心，最大值及取得最大值时x的取值；
（2）利用正弦函数的单调性质由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得f（x）的单调增区间．

解答：解：（1）由已知可得（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinx•cosx+1
=

1

2

×

1+cos2x

2

+

3

2

×

1

2

sin2x+1
=

1

2

（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）+

5

4

，
即f（x）=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

．
由2x+

π

6

=kπ（k∈Z）得：x=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z；
∴函数f（x）的对称中心为（

kπ

2

-

π

12

，

5

4

），k∈Z；
由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）得：x=kπ+

π

6

（k∈Z），
∴当x=kπ+

π

6

（k∈Z）时，f（x）_max=

7

4

；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）的单调增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，着重考查正弦函数的对称性、单调性与最值，属于中档题．