题目内容

已知a＞0,a≠1,设P:函数y=loga(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减;Q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,如果P和Q有且只有一个正确,求a的取值范围.

解：当0＜a＜1时,函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减.当a＞1时,y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减;曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于两点等价于(2a-3)2-4＞0,即或.?

(1)若P正确,且Q不正确,即函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴不交于两点,因此a∈(0,1)∩(［,1)∪(1,］),即a∈［,1).

(2)若P不正确,且Q正确,即函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于两点,因此a∈(1,+∞)∩((0, )∪(,+∞)),即a∈(,+∞).

综上,a的取值范围为［,1)∪(,+∞).

启示：本题考查对数函数与二次函数的单调性及简易逻辑等,还考查了分类讨论的思想方法.

练习册系列答案
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设A，B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A={x|0≤x≤2}，B={x|x≥0}，则A×B等于（　　）
下列不等式
①已知a＞0，b＞0，则(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4；
②a2+b2+3＞2a+2b；
③已知m＞0，则
b
a
＜
b+m
a+m
；
④
a-1
+
a+1
＜2
a
(a＞1)．
其中恒成立的是
①②④
①②④
．（把所有成立不等式的序号都填上）
已知a≠b（a、b∈R）是关于x的方程x2-（k-1）x+k2=0两个根，则以下结论正确的是（　　）
（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
d
=(1，
2
)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
DA
•
DB
为定值；
（3）对于双曲线Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的顶点．
已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
d
=(1，
2
)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
DA
•
DB
为定值；
（3）对于双曲线Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的顶点．

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