Question

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，若a₁=

1

2

，S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*）
（1）求S_n；
（2）求a_n．

Answer 1

分析：（1）将a_n用S_n-S_n-1代换，经过化简整理可得{

n+1

n

Sn}为等差数列，从而求出S_n；
（2）根据a_n=S_n-S_n-1（n≥2），代入S_n可求出数列{a_n} 的通项a_n，注意验证首项．

解答：解：（1）S_n=n²a_n-n（n-1）=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1）（n≥2）…（2分）
∴（n²-1）S_n-n²S_n-1=n（n-1）
∴

n+1

n

Sn -

n

n-1

Sn-1=1（n≥2）…（4分）
∴{

n+1

n

Sn}为等差数列
∴

n+1

n

Sn=1+n-1=n…（6分）
∴Sn=

n2

n+1

（n∈N^*）…（8分）
（2）Sn=

n2

n+1

a_n=S_n-S_n-1（n≥2）
∴an=

n2

n+1

-

(n-1)2

n

=1-

1

n(n+1)

…（10分）
当n=1时，经验证符合题意
故an=1-

1

n(n+1)

…（12分）

点评：本题主要考查了已知a_n与S_n的关系求S_n，以及已知S_n求a_n的方法，属于中档题．