Question

（本小题满分12分）设数列、、满足：，（n=1，2，3，…），       证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）

Answer 1

见解析

解析:

必要性：设数列是公差为的等差数列，则：

==－=0，

∴（n=1，2，3，…）成立；

       又=6（常数）（n=1，2，3，…）

       ∴数列为等差数列.

       充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1，2，3，…），

       ∵……①      ∴……②

       ①－②得：=

       ∵

       ∴……③   从而有……④

       ④－③得：……⑤

       ∵，，，

       ∴由⑤得：（n=1，2，3，…），

       由此，不妨设（n=1，2，3，…），则（常数）

       故……⑥

       从而……⑦

       ⑦－⑥得：，

       故（常数）（n=1，2，3，…），

∴数列为等差数列.

综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）.