Question

如图，在三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=BC=

2

SB=

2

SC，0为BC的中点．
（I）线段SB的中点为E，求证：平面AOE⊥平面SAB；
（II）若SB=

3

，求三棱锥S-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）勾股定理可证SB⊥SC，由三角形中位线性质可得SB⊥OE，由等腰三角形证SB⊥AE，故有SB⊥平面AOE，进而证得结论．
（2）由SO⊥BC，SO⊥OA，可证SO⊥面ABC，利用公式  V_S-ABC=

1

3

 S_△ABC×SO，可以求得三棱锥的体积．

解答：解：（1）∵BC=

2

SB=

2

SC，∴SB⊥SC，又∵SE=EB，CO=OB∴OE∥SC，
∴SB⊥OE，又AB=SA，SB⊥AE，且有 AE∩OE=E，∴SB⊥平面AOE．
而  SB?面 SAB，面 SAB⊥面AOE．
（2）连接SO，显然SO⊥BC，SO=

2

2

SB，AO=

6

2

SB，SA=

2

SB，
∴SO²+OA²=SA²，∴SO⊥OA，
又BC∩OA=O，∴SO⊥面ABC，V_S-ABC=

1

3

 S_△ABC×SO，
S_△ABC=

1

2

×BC×AO=

1

2

×

6

×

3 2

2

=

3 3

2

，
∴SO=

6

2

，V_S-ABC=

1

3

×S_△ABC×SO=

1

3

×

3 3

2

×

6

2

=

3 2

4

．

点评：证明面面垂直，需在一个面内找到一条直线和另一个平面垂直，求三棱锥的体积，关键是找出高，算出底面的面积．