Question

已知函数f（x）=-

2

3

x3+2ax2+3x．
（Ⅰ）当a=

1

4

时，求函数f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）令g（x）=ln（x+1）+3-f′（x），若g（x）在（-

1

2

，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=

1

4

时，f（x）=-

2

3

x3+

1

2

x2+3x，求导函数，确定函数的单调性，从而可确定函数的极值，进一步可得函数f（x）在[-2，2]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+2x²-4ax，求导函数，再考查h（x）=4x²+4（1-a）x+1-4a的对称轴为x=-

4-4a

8

= 

a-1

2

，分类讨论，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=

1

4

时，f（x）=-

2

3

x3+

1

2

x2+3x，f′（x）=-（2x-3）（x+1）
令f′（x）＞0，可得-1＜x＜

3

2

；令f′（x）＜0，可得x＜-1或x＞

3

2

∴函数的单调增区间为（-1，

3

2

）；单调减区间为（-∞，-1），（

3

2

，+∞）
∴x=-1时，函数取得极小值为-

11

6

，x=

3

2

时，函数取得极大值为

27

8

∵f（-2）=

4

3

，f（2）=

8

3

∴函数f（x）在[-2，2]上的最大值为

27

8

、最小值为-

11

6

；
（Ⅱ）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+2x²-4ax，g′（x）=

4x2+4(1-a)x+1-4a

x+1

在（-

1

2

，+∞）上恒有x+1＞0
考查h（x）=4x²+4（1-a）x+1-4a的对称轴为x=-

4-4a

8

= 

a-1

2

（9分）
（i）当

a-1

2

≥-

1

2

，即a≥0时，应有△=16（1-a）²-16（1-4a）≤0
解得：-2＜a≤0，所以a=0时成立（11分）
（ii）当

a-1

2

＜-

1

2

，即a＜0时，应有h（-

1

2

）＞0，即：1-4（1-a）×

1

2

+1-4a＞0，解得a＜0（13分）
综上：实数a的取值范围是a≤0（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值、最值，考查二次函数的单调性，综合性强．