Question

过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于不同的两点A、B，试确定实数a的取值范围，使|AB|≤2p．

Answer 1

分析：设直线l与抛物线的两个交点的坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．由题意，直线l的方程为y=x-a，与抛物线方程联立可得△＞0、根与系数的关系，利用弦长公式可得|AB|，由于0＜|AB|≤2p，解出即可．

解答：解：由题意，直线l的方程为y=x-a，将y=x-a代入y²=2px，得x²-2（a+p）x+a²=0．
设直线l与抛物线的两个交点的坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则  

4(a+p)2-4a2＞0 x1+x2=2(a+p) x1x2=a2.

又y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8p(p+2a)

．
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，∴0＜

8p(p+2a)

≤2p．
解得-

p

2

＜a≤-

p

4

． 
故a∈(-

p

2

，-

p

4

]时，有|AB|≤2p．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得△＞0、根与系数的关系、弦长公式、不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于难题．