Question

17．已知函数f（x）=sin2x-cos2x，则f（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时的值域是[-1，$\sqrt{2}$]；若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于直线$x=\frac{π}{4}$对称，则实数a的最小值为$\frac{π}{8}$．

Answer 1

分析 利用辅助角公式将函数进行化简结合三角函数的性质进行求解即可．

解答 解：f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴2x∈[0，π]，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
故函数f（x）的值域为[-1，$\sqrt{2}$]，
若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到：
y=$\sqrt{2}$sin[2（x+a）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+2a-$\frac{π}{4}$），
若此时函数恰好关于直线$x=\frac{π}{4}$对称，
则2×$\frac{π}{4}$+2a-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，
即2a=$\frac{π}{4}$+kπ，
a=$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
故当k=0时，实数a的最小值为$\frac{π}{8}$，
故答案为：$[-1，\sqrt{2}]$；$\frac{π}{8}$

点评 本题主要考查三角函数值域以及三角函数图象平移的判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．