Question

（2011•孝感模拟）已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x．
（I）若函数f（x）在x=0处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，函数f（x）在x=0处取得最小值，求正数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式2+

3

4

+

4

9

+…+

n+1

n2

＞ln(n+1)都成立．

Answer 1

分析：（I）由f′(x)=

1

x+a

-2x-1，f′（0）=0，知

1

a

-1=0，由此能求出a．
（Ⅱ）由f′(x)=

1

x+a

-2x-1，令f′（x）=0，得2x²+（2a+1）x+a-1=0，所以4a²-4a+9＞0，设方程两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，由于a＞0，则x1+x2=-

2a+1

2

＜0，x1x2=

a-1

2

，由此入手能求出正数a的取值范围．
（Ⅲ）当a=1时，f′(x)=

-2x2-3x

x+1

(x＞-1)，f（x）在（-1，0）上递增，在（0，+∞）上递减，此时，

n+1

n2

＞ln(n+1)-lnn，由此能够证明2+

3

4

+

4

9

+…+

n+1

n2

＞ln(n+1)．

解答：解：（I）∵函数f（x）=ln（x+a）-x²-x，
∴f′(x)=

1

x+a

-2x-1，
f′（0）=0，
即

1

a

-1=0，
∴a=1．
（Ⅱ）f′(x)=

1

x+a

-2x-1
=

-2x2-(2a+1)x+1-a

x+a

，
令f′（x）=0，即2x²+（2a+1）x+a-1=0，（*）
∵△=（2a+1）²-8（a-1）
=4a²-4a+9＞0，
设方程（*）两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由于a＞0，则x1+x2=-

2a+1

2

＜0，x1x2=

a-1

2

，
当a＞1时，x₁x₂＞0，x₁＜x₂＜0，
函数f（x）在x∈[0，1]上递减，此时f（x）的最小值为f（1），不满足题意．
当0＜a＜1时，x₁x₂＜0，x₁＜0＜x₂，
设g（x）=2x²+（2a+1）x+a-1，
∵g（0）=a-1＜0，g（1）=3a+2＞0，
∴x₁＜0＜x₂＜1，
函数f（x）在x∈[0，x₂]递增，在x∈[x₂，1]递减．
∵f（x）在x=0处取得最小值，
∴f（0）≤f（1）．
即lna≤ln（a+1）-2，
∴a≤

1

e2-1

．
综上所述，正数a的取值范围是0＜a≤

1

e2-1

．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=1时，f′(x)=

-2x2-3x

x+1

(x＞-1)，
f（x）在（-1，0）上递增，在（0，+∞）上递减，
此时，f（x）=ln（x+1）-x²-x≤f（0）=0，
即

n+1

n2

＞ln(n+1)-lnn，
2+

3

4

+

4

9

+…+

n+1

n2

＞（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+[ln（n+1）-lnn]=ln（n+1），
∴2+

3

4

+

4

9

+…+

n+1

n2

＞ln(n+1)．

点评：本题考查求实数a的值，求正数a的取值范围，证明：对任意的正整数n，不等式2+

3

4

+

4

9

+…+

n+1

n2

＞ln(n+1)都成立．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．