Question

已知复数w=2-i（i为虚数单位），复数z=

5

w

+|w-2|，则一个以z为根的实系数一元二次方程是

 

．

Answer 1

分析：利用复数的运算法则和模的计算公式可得z，再利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出．

解答：解：∵ω=2-i，∴z=

5

2-i

+|2-i-2|=

5(2+i)

(2-i)(2+i)

+|-i|
=2+i+1
=3+i．
设以z为根的实系数一元二次方程是x²+bx+c=0．
根据实系数一元二次方程的虚根成对原理可知：3-i也是此方程的一个实数根．
∴

3+i+3-i=-b (3+i)(3-i)=c

，解得b=-6，c=10．
∴一个以z为根的实系数一元二次方程是x²-6x+10=0．
故答案为：x²-6x+10=0．

点评：本题考查了复数的运算法则和模的计算公式、实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系，属于基础题．