Question

已知
（1）求f（x）在[0，2π]上的单调区间
（2）当x时，f（x）的最小值为2，求f（x）≥2成立的x的取值集合．
（3）若存在实数a，b，C，使得a[f（x）-m]+b[f（x-C）-m]=1，对任意x∈R恒成立，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）化简函数f（x）的解析式为2sin（x+）+1+m 由x∈[0，2π]，可得≤x+≤2π+．分时、时、时三种情况，分别求得函数的单调区间．
（2）根据，求得，可得f（x）_min=2+m=2，由此求得m的值．再由f（x）≥2，可得，，由此求得x的集合．
（3）由题意可得对任意 恒成立，故有（2a+2bcosC）=0，且2bsinC=0，且b+a-1=0．由此求得 的值．
解答：解：（1）=2sincos-2++1+m=sinx+cosx+1+m=2sin（x+）+1+m
由x∈[0，2π]，可得≤x+≤2π+．
当时，可得函数f（x）在 上递增，当时，可得函数f（x）在上 递减．
当时，可得函数在上递增．------------（2分）
（2）由于，故，所以f（x）_min=2+m=2    所以 m=0．--------（1分）
所以，，由f（x）≥2，可得，，
所以{x|2kπ-≤x≤2kπ+ k∈z}．--------（3分）
（3）∵ 
=，
对任意 恒成立，
故有（2a+2bcosC）=0，且2bsinC=0，且b+a-1=0．
经讨论只能有 ，所以，．--------（4分）
点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，两个向量的数量积的运算，函数的恒成立问题，属于中档题．