Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）若存在唯一的极小值点，求的取值范围，并证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）；证明见解析；

【解析】

（1）可利用分离参数法，将问题转化为恒成立，然后研究的单调性，求出最大值；

（2）通过研究在内的变号零点，单调性情况确定唯一极小值点；若不能直接确定的零点范围及单调性，可以通过研究的零点、符号来确定的单调性，和特殊点（主要是能确定符号的点）处的函数值符号，从而确定的极值点的存在性和唯一性．

(1)的定义域为.

由，得在恒成立，

转化为

令，则，

∴在单调递增，在单调递减，

∴的最大值为，∴.

∴的取值范围是.

(2)设，则，，.

①当时，恒成立，在单调递增，

又，

所以存在唯一零点.

当时，，

当时，.

所以存在唯一的极小值点.

②当时，，在单调递增，，

所以在有唯一零点.

当时，，

当时，.

所以存在唯一的极小值点.

③当时，令，得；

令，得，

∴在单调递增，在单调递减，

所以的最大值为

④当时，，，，

(或用)

由函数零点存在定理知：

在区间，分别有一个零点，

当时，；

当时，；

所以存在唯一的极小值点，极大值点.

⑤当时，，

所以在单调递减，无极值点.

由①②④可知，a的取值范围为，

当时，；

所以在单调递减，单调递增.

所以.

由，得.

所以

，

因为，，

所以，

所以，即；

所以.