Question

设函数f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f（m）·f（n）＝f（m＋n），且当x＜0时，f（x）＞1．

（Ⅰ）证明（1）f（0）＝1；

　　　　  （2）当x＞0时，0＜f（x）＜1；

　　　　  （3）f（x）是R上的减函数；

（Ⅱ）如果对任意实数x、y，有f（）·f（）≤f（axy）恒成立，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）（1）证明：在中，令m＝n＝0， 　　     得即  ∴  或 　　     若，则当x＜0时，有， 这与题设矛盾  ∴  　　   （2）证明：当x＜0时，－x＜0，由已知得 　　     〔〕， ∵  ， 　　     ∴  ，  即x＞0时， 　　   （3）证明：任取，则， 　　    ∵  ，∴  ， 又，∴  ，∴  在定义域R上为减函数 　（Ⅱ）∵  ，∴  ， ∵  是减函数，∴  恒成立． 　　（ⅰ）当xy＝0时，a可取任意实数； 　　（ⅱ）当xy＞0时，，而，∴  只需a≤2 　　（ⅲ）当xy＜0时，，而，∴  只需a≥－2 　　∴  综上所述，满足题设要求的a的取值范围是－2≤a≤2