Question

设集合M={x|x²+2（1-a）x+3-a≤0，x∈R}．
（1）当M?[0，3]，求实数a的取值范围；
（2）当M⊆[0，3]，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：设y=x²+2（1-a）x+3-a，其开口向上，
那么满足y=x²+2（1-a）x+3-a≤0，的x的取值，
即为使 二次函数在x轴下方 的x的取值范围，
也就是 二次函数与y轴交点 之间的部分，
（1）当[0，3]包含于M时
二次函数与y轴两交点之间的部分应 包含区间[0，3]，
即 两交点一个在（-∞，0]，一个在[3，+∞），
可知 f（0）≤0，且f（3）≤0，
f（0）=3-a≤0，a≥3，
f（3）=9+6（1-a）+（3-a）=18-7a≤0，a≥，
并且△=b²-4ac≥0，
4（1-a）²-4（3-a）≥0，
a²-2a+1-3+a≥0，
a²-a-2≥0，
（a-2）（a+1）≥0，
a≥2或a≤-1，
综上所述，a的取值范围[3，+∞）．
（2）当M包含于[0，3]时，
二次函数与y轴两交点之间的部分，或M为空集，应包含于区间[0，3]之间，
即 两交点都在[0，3]之间，
可知 f（0）≥0，f（3）≥0
f（0）=3-a≥0，a≤3
f（3）=9+6（1-a）+（3-a）=18-7a≥0，a≤，
综上所述，a的取值范围（-∞，]
分析：（1）构造y=x²+2（1-a）x+3-a，通过△≥0，f（0）≤0，且f（3）≤0，满足M?[0，3]，求实数a的取值范围．
（2）当M⊆[0，3]，通过f（0）≥0，且f（3）≥0，求实数a的取值范围．
点评：本题是中档题，考查集合的运算，构造法与函数的零点与方程的根的知识，考查计算能力，转化思想．