Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2） 以椭圆的长轴为直径作圆，设为圆上不在坐标轴上的任意一点，为轴上一点，过圆心作直线的垂线交椭圆右准线于点．问：直线能否与圆总相切，如果能，求出点的坐标；如果不能，说明理由．

Answer 1

(1) ；（2）能，点.

试题分析：（1）求椭圆方程，一般要找到两个条件，本题中有离心率为，即，另外椭圆过点，说明，这样结论易求；（2）存在性命题，问题假设存在，设，再设，首先有，，，于是，写出直线方程为，让它与椭圆右准线相交，求得，与圆相切，则有，即，这是关于的恒等式，由此利用恒等式的知识可求得，说明存在，若求不出，说明假设错误，不存在.
（1）设椭圆方程为，因为经过点，所以，，
又因为，可令，所以，，即，
所以椭圆的标准方程为．                         6分
（2）存在点                               7分
设点，，因为在以椭圆的长轴为直径作圆上，且不在坐标轴上的任意点，
所以 且，又因为，
由，所以，，所以直线的方程为，         10分
因为点在直线上，令，得，
即，                              12分
所以，
又，与圆总相切，故，于是有，
，即恒成立，解之可得，
即存在这样点，使得与圆总相切．                   16分