Question

在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，cos2B+3cos（A+C）+2=0．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若△ABC外接圆的面积为4π，且C=75°，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知条件已经三角形的内角和，求出cosB，然后求sinB的值；
（Ⅱ）求出△ABC外接圆的半径，利用正弦定理以及三角形面积为4π，求出a，b结合C=75°，求△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵cos2B+3cos（A+C）+2=0．
A+B+C=π，
∴cosB=

1

2

或cosB=1，B∈（0，π）
∴sinB=

1-cos2B

=

3

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知B=60°，设外接圆的半径为R，则πR²=4π，∴R=2，
∵

b

sinB

=2R，∴b=2

3

，A=π-B-C=45°，

a

sinA

=2R得：a=2RsinA=2

2

，
且sin75°=sin（30°+45°）=

6 + 2

4

，
∴S=

1

2

absinC=3+

3

．

点评：本题是中档题，考查三角形的面积公式，外接圆的知识已经正弦定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用．