Question

（2013•虹口区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量

m

=

2sinB，2cosB

，

n

=

3 cosB，-cosB

，且

m

•

n

=1．
（1）求角B；
（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性即可得出．
（2）利用余弦定理和基本不等式即可得出ac≤4，再利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=1，∴2sinB•

3

cosB-2cos2B=1，
∴

3

sin2B-cos2B=2，sin(2B-

π

6

)=1，
又0＜B＜π，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

11π

6

，
∴2B-

π

6

=

π

2

，∴B=

π

3

．
（2）∵b=2，b²=a²+c²-2ac•cosB，
∴4=a2+c2-2ac•cos

π

3

，即4=a²+c²-ac，
∴4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4，当且仅当a=c=2时等号成立．
∴S△=

1

2

ac•sinB=

3

4

ac≤

3

，当a=b=c=2时，(S△ABC)max=

3

．

点评：熟练掌握数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性、余弦定理和基本不等式、三角形的面积计算公式是解题的关键．