Question

已知平面直角坐标系xoy中O是坐标原点，A（6，2

3

），B（8，0），圆C是△OAB的外接圆，过点（2，6）的直线为l．
（1）求圆C的方程；
（2）若l与圆相切，求切线方程；
（3）若l被圆所截得的弦长为4

3

，求直线l的方程．

Answer 1

（1）∵O（0，0），A（6，2

3

），
∴直线OA的方程斜率为

2 3 -0

6-0

=

3

3

，
∴线段OA垂直平分线的斜率为-

3

，又线段AO的中点坐标为（3，

3

），
∴线段OA垂直平分线的方程为y-

3

=-

3

（x-3），即

3

x+y-4

3

=0①，
又线段OB的垂直平分线为x=4②，
∴将②代入①解得：y=0，
∴圆心C的坐标为（4，0），
又|OC|=4，即圆C的半径为4，
则圆C的方程为：（x-4）²+y²=16；
（2）显然切线方程的斜率存在，设切线l的斜率为k，又切线过（2，6），
∴切线l的方程为y-6=k（x-2），即kx-y+6-2k=0，
∴圆心到切线的距离d=r，即

|2k+6|

k2+1

=4，
解得：k=

3±2 6

3

，
则切线l的方程为：y-6=

3±2 6

3

（x-2）；       
（3）当直线l的斜率不存在时，显然直线x=2满足题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，又直线l过（2，6），
∴切线l的方程为y-6=k（x-2），即kx-y+6-2k=0，
又弦长为4

3

，半径r=4，
∴圆心到切线的距离d=

42-(2 3 )2

=2，即

|2k+6|

k2+1

=2，
解得：k=-

4

3

，
∴直线l的方程为y-6=-

4

3

（x-2），即4x+3y-26=0，
综上，直线l的方程为x=2或4x+3y-26=0．