Question

已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x²+y²=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.

Answer 1

解法一:切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10,

∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称,

∴两条渐近线方程为3x±y=0.

设所求的双曲线方程为9x²-y²=λ(λ≠0).

∵点P(3,-1)在所求的双曲线上,∴λ=80.

∴所求双曲线的方程为

解法二:

切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10,

∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称,

∴双曲线的渐近线方程为3x±y=0.

当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为(a＞0,b＞0),则其渐近线方程为y=±x,即=3,则双曲线方程可化为.

∵双曲线过点P(3,-1),

∴

∴所求双曲线的方程为

当焦点在y轴上时,设双曲线方程为(a＞0,b＞0),则其渐近线方程为y=±x,即=3,则双曲线方程可化为

∵双曲线过点P(3,-1),∴

得-,此时方程无解.

∴所求的双曲线方程为