Question

（理）已知复数z=

5

2

sin

A+B

2

+icos

A-B

2

，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=

3 2

4

．
（1）求证：tgA•tgB=

1

9

；
（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，求

|MC|

|AB|

的最大值．

Answer 1

证明：（1）∵|z|2=[

5

2

sin

A+B

2

]2+[cos

A-B

2

]2=[

3 2

4

]2…（2分）
∴

5

4

•

1-cos(A+B)

2

+

1+cos(A-B)

2

=

9

8

，
整理可得：4cos（A-B）=5cos（A+B），即4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，
∴9sinA•sinB=cosA•cosB，
∴tgA•tgB=

1

9

…（5分）
（2）tgC=-tg(A+B)=-

9

8

(tgA+tgB)≤-

9

4

tgA•tgB

=-

3

4

，
当且仅当tgA=tgB=

1

3

时，tgC最大，即∠C最大 …（8分）
设|AB|=2a，
∵|MA|+|MB|=2|AB|=4a，
∴M在以A，B为焦点的椭圆上，椭圆长半轴为2a，半焦距为a，短半轴为

3

a，…（10分）
以直线AB为x轴，AB中点为原点，建立坐标系，
设椭圆方程为

x2

4a2

+

y2

3a2

=1，M(x，y)则

|MC|2

|AB|2

=

x2+(y- a 3 )2

4a2

=-

y2

12a2

-

y

6a

+

37

36

=-

1

12a2

(y+a)2+

10

9

(-

3

a≤y≤

3

a)
所以，当y=-a时，(

|MC|

|AB|

)max=

10

3

…（13分）