Question

已知函数f(x)＝＋ax＋b，当p，q满足p＋q＝1时，

试证明：pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)对于任意实数x，y都成立的充要条件是0≤p≤1．

Answer 1

答案：
解析：

证:pf(x)＋qf(y)－f(px＋qy)＝p(＋ax＋b)＋q(＋ay＋b)－－a(px＋qy)－b＝p(1－p)＋q(1－q)－2pqxy＝pq．①若0≤p≤1，q＝1－p∈[0，1]，∴pq≥0，∴pq≥0，∴pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)；②当pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)时，pq≥0，∵≥，∴pq≥0．即p(1－p)≥0，∴0≤p≤1．∴原命题成立． 　　说明 首先要将结论pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)利用条件p＋q＝1转化为较简单的形式：pq≥0后再进行充要性证明．