Question

已知直线x+y+m=0与圆x²+y²=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，那么实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据直线与圆有两个交点可推断出圆心到直线的距离小于或等于半径，根据|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，利用平行四边形法则推断出

AO

和

OB

的夹角为锐角，利用直线的斜率可推断出其与x轴的夹角，看当

AO

和

OB

的夹角为直角时求得原点到直线的距离，进而可推断出d＞1，最后综合可得d范围，然后过原点作一直线与x+y+m=0垂直，两直线交点可得，进而求得d和m的关系，进而根据d的范围求得m的范围．

解答：解：∵直线x+y+m=0与圆x²+y²=2交于相异两点A、B，
∴O点到直线x+y+m=0的距离d＜

2

，
又∵|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，由平行四边形可知，夹角为钝角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短，
∴

AO

和

OB

的夹角为锐角．
又∵直线x+y+m=0的斜率为-1，即直线与x的负半轴的夹角为45度，当

AO

和

OB

的夹角为直角时，直线与圆交于（-

2

，0）、（0，-

2

），此时原点与直线的距离为1，故d＞1
综合可知1＜d＜

2

，
过原点作一直线与x+y+m=0垂直，即y=x，两直线交点为（-

m

2

，-

m

2

），则d=

2

2

|m|
综上有：-2＜m＜-

2

或

2

＜m＜2
故答案为：(-2，-

2

)∪(

2

，2)

点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质，向量的几何意义等．考查了学生分析问题和解决问题的能力．