Question

已知P(a,b)是圆x²+y²=r²外一定点,PA、PB是过P点的该圆的两条切线,A、B为切点.求证:直线AB的方程为ax+by=r².

Answer 1

证法一:设点A、B的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂),则过A、B两点的切线方程分别为

∵P点在两条切线上,故（a,b）满足方程（1）(2),即

由(3)(4)(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)是直线ax+by=r²上的点,由已知,得A、B是两个不重合的点,两点确定一条直线,故ax+by=r²就是直线AB的方程.

证法二:如图所示,A、O、B、P四点共面,且以OP为直径的圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=

(a²+b²),

即x²+y²-ax-by=0.       (5)

又圆的方程为x²+y²=r²， (6)

由(6)-(5),得ax+by=r²即为过切点A、B的直线方程.