题目内容

关于函数f(x)=2sin(2x-
π
3
)(x∈R)，有以下命题
（1）y=f(x-
π
12
)为偶函数；      
（2）y=f（x）的图象关于直线x=
5π
12
对称；
（3）函数f（x）在区间[0，
π
2
]的值域为[-
3
，
3
]；
（4）y=f（x）在[-
π
2
，
π
2
]的减区间是[-
π
2
，-
π
12
]和[
5π
12
，
π
2
]．
其中正确命题的序号为______．
由f(x)=2sin(2x-
π
3
)，得：y=f(x-
π
12
)=2sin[2(x-
π
12
)-
π
3
]=2sin(2x-
π
2
)=-2cos2x，
函数的定义域为R，且-2cos2（-x）=-2cos2x，∴函数y=f(x-
π
12
)为偶函数，∴命题（1）正确；
把x=
5π
12
代入f(x)=2sin(2x-
π
3
)，得：f(
5π
12
)=2sin(2×
5π
12
-
π
3
)=2sin
π
2
=2，
∴y=f（x）的图象关于直线x=
5π
12
对称，∴命题（2）正确；
由0≤x≤
π
2
，得：-
π
3
≤2x-
π
3
≤
2π
3
，∴-1≤2sin(2x-
π
3
)≤2，
∴函数f（x）在区间[0，
π
2
]的值域为[-1，2]，∴命题（3）错误；
由
π
2
+2kπ≤2x-
π
3
≤
3π
2
+2kπ（k∈Z），得：
5π
12
+kπ≤x≤
11π
12
+kπ（k∈Z），
取k=-1，得：-
7π
12
≤x≤-
π
12
，取k=0，得：
5π
12
≤x≤
11π
12
．
∴y=f（x）在[-
π
2
，
π
2
]的减区间是[-
π
2
，-
π
12
]和[
5π
12
，
π
2
]，∴命题（4）正确．
所以，正确的命题为（1）（2）（4）．
故答案为（1）（2）（4）．
练习册系列答案
相关题目
在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
关于函数f(x)=(2x)*
1
2x
的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-
1
2
)，(
1
2
，+∞)．
其中所有正确说法的个数为（　　）
A、0B、1C、2D、3
已知函数f(x)=
2，x＞k
x2+4x+2，x≤k
，若关于x的方程f（x）=x恰有三个不同的实根，则k的取值范围为（　　）
在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质；
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
关于函数f(x)=(3x)*(
1
3x
)的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-
1
3
)，(
1
3
，+∞)．
其中所有正确说法的序号为
③
③
．
关于函数f(x)=2|x+
1
x
|，下列命题判断错误的是（　　）
关于函数f(x)=2|x+
1
x
|，下列命题判断错误的是（　　）
A．图象关于原点成中心对称
B．值域为[4，+∞）
C．在（-∞，-1]上是减函数
D．在（0，1]上是减函数

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