Question

已知正整数 n 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的 n 的个数是

6

．

Answer 1

分析：首项为a为的连续k个正整数之和为Sk=ka+

k(k+1)

2

≥

k(k+1)

2

．由S_k≤2000，可得60≤k≤62．由此运用分类讨论思想能够求出结果．

解答：解：首项为a为的连续k个正整数之和为
Sk=ka+

k(k+1)

2

≥

k(k+1)

2

．
由S_k≤2000，可得60≤k≤62．
当k=60时，S_k=60a+30×59，
由S_k≤2000，可得a≤3，
故S_k=1830，1890，1950；
当k=61时，S_k=61a+30×61，
由S_k≤2000，可得a≤2，
故S_k=1891，1952；
当k=62时，S_k=62a+31×61，
由S_k≤2000，可得a≤1，
故S_k=1953．
于是，题中的n有6个．
故答案为：6．

点评：本题考查数列的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，解题时要灵活运用分类讨论思想．