Question

【题目】已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于两点，过与平行的直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】试题分析：（1）由题意知椭圆焦点在 轴，可设其标准方程，由 得，由 在椭圆上可求得 ，即可得椭圆的方程；（2）由四边形 是平行四边形，得 ，设直线，联立直线与椭圆得关于 的一元二次方程，由根与系数的关系可求得 的值，进而得，由 令,由基本不等式得的最大值。

（1）设椭圆的标准方程为，

由已知得，∴，

又点在椭圆上，∴，

椭圆的标准方程为.

（2）由题意可知，四边形为平行四边形，∴，

设直线的方程为，且，

由得，

∴，

，

令，则， ，

又在上单调递增，

∴，∴的最大值为，

所以的最大值为.