Question

异面直线a，b所成的角为60°，过空间点P作线c与它们都成60°，则线c的条数为

3

．

Answer 1

分析：作出过P与a、b分别平行的两条直线a'、b'，则a'、b'所成锐角即为异面直线a、b所成角．设直线a'、b'确定的平面为α，通过讨论可知：在平面α内有一条直线与a'、b'都成60°角，在平面α外有两条直线与a'、b'都成60°角．最后结合异面直线所成角的定义，即可得到过点P与a、b也都成60°的角直线可以作3条．

解答：解：过P作a'∥a，b'∥b，设直线a'、b'确定的平面为α，
∵异面直线a、b成60°角，∴直线a'、b'所成锐角为60°．
①当直线l在平面α内时，
若直线l平分直线a'、b'所成的钝角，
则直线l与a、b都成60°角；
②当直线l与平面α斜交时，
若它在平面α内的射影恰好落在
直线a'、b'所成的锐角平分线上时，直线l与a、b所成角相等．
此时l与a'、b'所成角的范围为[30°，90°]，
适当调整l的位置，可使直线l与a、b也都成60°角，这样的直线l有两条．
综上所述，过点P与a'、b'都成60°角的直线，可以作3条
∵a'∥a，b'∥b，
∴过点P与a'、b'都成60°角的直线，与a、b也都成60°的角．
故答案为：3

点评：本题给出两条异面直线的所成角，要我们找出与它们成60度角的第三条直线有几条，着重考查了线面垂直、直线与平面所成角和异面直线所成角等知识，属于中档题．