Question

已知函数y=

x2-x+n

x2+1

（n∈N^*，y≠1）的最小值为a_n，最大值为b_n，且c_n=4（a_nb_n-

1

2

）．数列{c_n}的前n项和为S_n．
（1）请用判别式法求a₁和b₁；
（2）求数列{c_n}的通项公式c_n；
（3）若{d_n}为等差数列，且d_n=

Sn

n+c

（c为非零常数），设f（n）=

dn

(n+36)dn+1

（n∈N^*），求f（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先整理出关于y的一元二次方程，再利用判别式，可求求a₁和b₁；
（2）先整理出关于y的一元二次方程，再利用韦达定理便可求出a_nb_n，代入c_n的表达式中即可求出数列{c_n}的通项公式；
（3）由（2）中c_n的通项公式先求出S_n的表达式，然后根据题意求出d_n的通项公式，再根据{d_n}为等差数列的条件便可求出c的值，可得的d_n 的通项公式代入求出f（n）的表达式，根据基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）n=1时，y=

x2-x+1

x2+1

，则（y-1）x²+x+y-1=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-1）≥0，即4y²-8y+3≤0
∴

1

2

≤y≤

3

2

∴a₁=

1

2

，b₁=

3

2

；
（2）由y=

x2-x+n

x2+1

，可得（y-1）x²+x+y-n=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-n）≥0，即4y²-4（1+n）y+4n-1≤0
由题意知：a_n，b_n是方程4y²-4（1+n）y+4n-1=0的两根，
∴a_n•b_n=

4n-1

4

∴c_n=4（a_nb_n-

1

2

）=4n-3；
（3）∵c_n=4n-3，∴S_n=2n²-n，∴d_n=

Sn

n+c

=

2n2-n

n+c

∵{d_n}为等差数列，∴2d₂=d₁+d₃，
∴2c²+c=0，∴c=0（舍去）或c=-

1

2

，∴d_n=

2n2-n

n- 1 2

=2n
∴f（n）=

dn

(n+36)dn+1

=

n

n2+37n+36

=

1

n+ 36 n +37

≤

1

2 36 +37

=

1

49

当且仅当n=

36

n

，即n=6时，取等号，∴f（n）的最大值为

1

49

．

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．