Question

（2007•天津一模）已知函数f（x）=

2

3

x3-2ax2-3x（a∈R）．
（1）当|a|≤

1

4

时，求证f（x）在（-1，1）内是减函数；
（2）若函数y=f（x）在区间（-1，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先对于函数求导，得到导函数是一个二次函数，根据二次函数的性质对于导函数的符号进行验证，得到结果．
（2）设出极值点，根据函数在所给的区间上只有一个极值点，对于函数的导函数的符号进行讨论，得到结果．

解答：解：（1）f'（x）=2x²-4ax-3，对称轴x=a∈[-

1

4

，

1

4

]?(-1，1)
f′(x)min=f′(a)=-2a2-3＜0，f′(1)=-2a-

7

2

＜0，f′(-1)=2a-

7

2

＜0
f′（x）_max=maxf′（1），f′（-1）＜0，
∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（2）∵f（x）在（-1，1）内只有一个极值点，
∴f'（x）=0有两个实根x₁，x₂且x₁∈（-1，1），x₂∉（-1，1）．
若x₁∈（-1，1），x₂∈（-∞，-1）∪（1，+∞），f'（-1）•f'（1）＜0
∴a＞

1

4

或a＜-

1

4

．
经检验x₂=-1或x₂=1时x₁∉（-1，1）．
∴a＞

1

4

或a＜-

1

4

．

点评：本题考查函数的极值和单调性的应用，属于中档题．