Question

已知点A(– 2，0)，B(2，0)，动点P满足：，且.

（1）求动点P的轨迹G的方程；

（2）过点B的直线l与轨迹G交于两点M、N．试问在x轴上是否存在定点C ，使得 为常数.若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）

（2）C(1，0)

解析:

(1) 由余弦定理得： 

即16＝

＝

所以，

即

（当动点P与两定点A，B共线时也符合上述结论）

所以动点P的轨迹为以A，B为焦点，实轴长为的双曲线

所以，轨迹G的方程为 

(2) 假设存在定点C(m，0)，使为常数.

①当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为

 

由题意知，

设，

则， 

于是

∴

＝ 

＝

要是使得 为常数，当且仅当，此时 

②当直线l与x轴垂直时，,当时．

故，在x轴上存在定点C(1，0)，使得为常数